(作者:張其棟老師 / 逢甲大學 應用數學系)

你一定玩過「井字棋」,或稱「圈圈叉叉」的遊戲,雙方在井字的棋盤上交互畫圈(◯)和打叉(✕),先以橫向、直向或斜向連成一線的為勝方,它的規則簡單易懂又節奏明快,是廣受大眾喜愛的小品遊戲,因此許多人會研究對應的致勝策略,例如在圖1中所展示的棋局,不論下一手的打叉(✕)方畫在何處,畫圈(◯)方都能確保最後的勝利。

圖1 井字棋中兩種畫圈(◯)方即將獲勝的情況

如果一開始即能掌控遊戲的步調,成為最終的贏家當然就最好囉!由於井字棋的規則較為單純,變化亦相對較少(註1),因此發展出對應的策略,例如圖2就展示先手畫圈(◯)方在三種不同開局的設定之下,所對應的必勝條件。

圖2 井字棋的策略分析

除了井字棋,還有許多趣味的遊戲吸引大家投入,分析其必勝的策略,這可以透過賽局論或博弈論(Game Theory)來尋求解答,事實上我們可以依據遊戲的破解程度進行分類:

  1. 超弱解遊戲:得知先手或後手誰有必勝、或必不敗之策略,不過仍無法掌握具體的策略執行方式。
  2. 弱解遊戲:得知在起始情況下,必勝或必不敗策略的具體實施方式。
  3. 強解遊戲:在中途任何情況下,得知必勝或必不敗策略的具體執行方式。

以上遊戲皆稱為已解遊戲(Solved Game),利如井字棋就是個強解遊戲,在遊戲中途的任何情況之下,至少一方有必勝或必不敗的具體策略可以執行。 另一個有趣的兩人對奕遊戲是六貫棋(Hex),棋盤由許多正六邊形拼湊而成,平行的兩側塗上相同顏色,例如藍色和紅色,兩人輪流分別在空白格擺放藍色和紅色的正六邊形棋子,直到有一方連接同色的兩側獲得勝利(圖3)。數學家奈許(Nash)證明了這個遊戲不會出現和局,且先手握有必勝的策略,不過到現在還沒有人能提出先手獲勝的具體執行流程,所以六貫棋是個超弱解遊戲(註2)。

圖3 六貫棋的棋盤(左)與藍方勝利的情況(右)

已經有許多小遊戲被研究進行不同程度的破解,利如播棋、四子棋、五子棋和西洋跳棋(圖4),請你猜猜它們獲勝的秘訣到底是什麼呢?

圖4 某遊戲主機上的各種小遊戲

延伸教材:

  1. 逢甲大學磨課師《小數界大學問—翻轉生活數學》,5-1穩操勝算 https://youtu.be/pC5_sw2pc9Q

註:

  1. 若是將對稱的局面皆視為同一個,則井字棋僅有765個局面,26830個棋局。
  2. 目前六貫棋有對應於棋盤大小為3~8的先手必勝策略可以執行,至於更大的棋盤則僅能知道先手有必勝策略,尚無能夠執行的具體步驟。
  3. 截圖自 https://youtu.be/P5X9zrLd_dI