(作者：張其棟老師 / 逢甲大學 應用數學系)

你一定玩過「井字棋」，或稱「圈圈叉叉」的遊戲，雙方在井字的棋盤上交互畫圈（◯）和打叉（✕），先以橫向、直向或斜向連成一線的為勝方，它的規則簡單易懂又節奏明快，是廣受大眾喜愛的小品遊戲，因此許多人會研究對應的致勝策略，例如在圖1中所展示的棋局，不論下一手的打叉（✕）方畫在何處，畫圈（◯）方都能確保最後的勝利。

圖1 井字棋中兩種畫圈（◯）方即將獲勝的情況

如果一開始即能掌控遊戲的步調，成為最終的贏家當然就最好囉！由於井字棋的規則較為單純，變化亦相對較少（註1），因此發展出對應的策略，例如圖2就展示先手畫圈（◯）方在三種不同開局的設定之下，所對應的必勝條件。

圖2 井字棋的策略分析

除了井字棋，還有許多趣味的遊戲吸引大家投入，分析其必勝的策略，這可以透過賽局論或博弈論（Game Theory）來尋求解答，事實上我們可以依據遊戲的破解程度進行分類：

  1. 超弱解遊戲：得知先手或後手誰有必勝、或必不敗之策略，不過仍無法掌握具體的策略執行方式。
  2. 弱解遊戲：得知在起始情況下，必勝或必不敗策略的具體實施方式。
  3. 強解遊戲：在中途任何情況下，得知必勝或必不敗策略的具體執行方式。

以上遊戲皆稱為已解遊戲（Solved Game），利如井字棋就是個強解遊戲，在遊戲中途的任何情況之下，至少一方有必勝或必不敗的具體策略可以執行。 另一個有趣的兩人對奕遊戲是六貫棋（Hex），棋盤由許多正六邊形拼湊而成，平行的兩側塗上相同顏色，例如藍色和紅色，兩人輪流分別在空白格擺放藍色和紅色的正六邊形棋子，直到有一方連接同色的兩側獲得勝利（圖3）。數學家奈許（Nash）證明了這個遊戲不會出現和局，且先手握有必勝的策略，不過到現在還沒有人能提出先手獲勝的具體執行流程，所以六貫棋是個超弱解遊戲（註2）。

圖3 六貫棋的棋盤（左）與藍方勝利的情況（右）

已經有許多小遊戲被研究進行不同程度的破解，利如播棋、四子棋、五子棋和西洋跳棋（圖4），請你猜猜它們獲勝的秘訣到底是什麼呢？

圖4 某遊戲主機上的各種小遊戲

延伸教材：

  1. 逢甲大學磨課師《小數界大學問—翻轉生活數學》，5-1穩操勝算 https://youtu.be/pC5_sw2pc9Q

註：

  1. 若是將對稱的局面皆視為同一個，則井字棋僅有765個局面，26830個棋局。
  2. 目前六貫棋有對應於棋盤大小為3~8的先手必勝策略可以執行，至於更大的棋盤則僅能知道先手有必勝策略，尚無能夠執行的具體步驟。
  3. 截圖自 https://youtu.be/P5X9zrLd_dI